Đề bài

Tính: a) \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)\), biết \(\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \); b) \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\), biết \(\cos a =  - \frac{1}{3}\) và \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\cos^2 a = 1 - {{\sin }^2}a  = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên \(\cos a < 0\). Do đó \( \cos a\ =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\). Ta có: \(\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos a\cos \frac{\pi }{6} - \sin a\sin \frac{\pi }{6} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2} =  - \frac{{\sqrt 3  + 3\sqrt 2 }}{6}\) b) Ta có: \(\sin^2 a = 1 - {{\cos }^2}a  = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \). Vì \(\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\sin a < 0\). Do đó \(\sin a\ =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Suy ra \(\tan a\; = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \) Ta có: \(\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan a\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} - 1}}{{1 + \frac{{\sin a}}{{\cos a}}}} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{{1 + 2\sqrt 2 }} = \frac{{9 - 4\sqrt 2 }}{7}\).