Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AK\) và \(BC\).

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\). Ta có: \(I\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\) \(K\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow IK\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) \( \Rightarrow IK\parallel BC \Rightarrow \left( {AK,BC} \right) = \left( {AK,IK} \right) = \widehat {AKI}\) \(IK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\) \(AI\) là trung tuyến của tam giác \(AB{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - B{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \(AK\) là trung tuyến của tam giác \(AC{\rm{D}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - C{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Xét tam giác \(AIK\) có: \(\cos \widehat {AKI} = \frac{{A{K^2} + I{K^2} - A{I^2}}}{{2.AK.IK}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {AKI} \approx {73^ \circ }13'\) Vậy \(\left( {AK,BC} \right) \approx {73^ \circ }13'\).