Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy  ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC và SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

Lời giải chi tiết

Vì hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(BC\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \(\left( {ABC} \right)\)Vậy góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\), góc giữa \(SA\) và \(AH\) là góc \(\widehat {SAH}\)Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) suy ra đường trung tuyến \(AH\) nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)Vì \(\Delta SBC\) là tam giác đều có cạnh \(BC = a\) suy ra đường trung tuyến \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{AH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}:\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 1\)\( \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^o}\)