Đề bài

Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để: a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu; b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu; c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu; d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố: \(A\): “Chọn được học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”. Suy ra \(\overline A \): “Chọn được học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu”. \(B\): “Chọn được học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”. Suy ra \(\overline B \): “Chọn được học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu”. Ta có \(P(A) = 93\%  = 0,93\); \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,93 = 0,07\); \(P(A) = 87\%  = 0,87\); \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,87 = 0,13\). Có \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố \(A - \overline B \); \(\overline A  - B\) và \(\overline A  - \overline B \) cũng độc lập. a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là: \(P(AB) = P(A).P(B) = 0,93.0,87 = 0,8091\). b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là: \(P(\overline A \overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,07.0,13 = 0,0091\). c) Để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu: + TH1: Học sinh trường X đạt yêu cầu, học sinh trường Y không đạt yêu cầu: \(P(A\overline B ) = P(A).P(\overline B ) = 0,93.0,13 = 0,1209\). + TH2: Học sinh trường X không đạt yêu cầu, học sinh trường Y đạt yêu cầu: \(P(\overline A B) = P(\overline A ).P(B) = 0,07.0,87 = 0,0609\). Vậy xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là: \(P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,1209 + 0,0609 = 0,1818\). d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,93 + 0,87 - 0,8091 = 0,9909\).