Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H. a) Chứng minh BM = CN b) Chứng minh tam giác BHC cân. c) Cho biết AH = 8 cm, BC  = 18 cm. Tính AB.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(AN{\rm{ }} = {\rm{ }}BN{\rm{ }} = {{AB} \over 2}\) (N là trung điểm của AB)\(AM = MC = {{AB} \over 2}\) (M là trung điểm của AC)AB = AC (∆ABC cân tại A)Do đó AN = AM = BN = MC.Xét ∆BMA và ∆CNA ta có: AB = AC (∆ABC cân tại A)\(\widehat {BAM}\) chungAM = ANDo đó: ∆BMA = ∆CAN (c.g.c) => BM = CN.b) Xét ∆BMC và ∆CNB ta có: BC (cạnh chung)MC = BNBM = CN (câu a)Do đó: ∆BMC = ∆CNB (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {HCB}\). Vậy ∆BHC cân tại H.c) Gọi I là giao điểm của AH và BC∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại H (gt)=> H là trọng tâm của ∆ABC=> AI là đường trung tuyến của ∆ABC (vì AI đi qua H)Ta có \(AH = {2 \over 3}AI \Rightarrow AI = {3 \over 2}AH = {3 \over 2}.8 = 12(cm)\)Vì I là trung điểm của BC \( \Rightarrow BI = {{BC} \over 2} = {{18} \over 2} = 9(cm)\)∆ABC cân tại A có AI là đường trung tuyếnNên AI là đường cao \( \Rightarrow AI \bot BC\) tại I

Xét ∆ABI vuông tại I => AB² = AI² + BI² (định lí Pythagore)

Nên AB² = 12² + 9² = 225.

Do đó AB² = 15². Vậy AB = 15 (cm).

ufaindo.xyz