Đề bài

Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a. Tính AB, IJ theo a và x. b. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc ?

Lời giải chi tiết

a. Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ ⊥ CD.Do mp(ACD) ⊥ mp(BCD) nên AJ ⊥ mp(BCD)Mặt khác, AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy ra \(AB = AJ\sqrt 2 ,A{J^2} = {a^2} - {x^2}\) \(hay\,AJ = \sqrt {{a^2} - {x^2}} .\)Vậy \(AB = \sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} \) với a > xDo IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên \(JI = {1 \over 2}AB,\) tức là \(IJ = {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)} .\)b) +Tam giác ABC có AC = BCnên tam giác ABC cân tại C,có CI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:CI ⊥ AB (3)Tam giác ABD cân tại D có DI là đường trung tuyến nênDI ⊥ AB (4)Hai mp (ABC) và (ABD) cắt nhau theo giao tuyến là AB (5)Từ (3) , (4) và (5) suy ra góc giữa hai mp(ABC) và (ABD) là góc CID.Vậy mp(ABC) ⊥ mp(ABD) \( \Leftrightarrow \widehat {CID} = 90^\circ \)\( \Leftrightarrow IJ = {1 \over 2}CD\) \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\sqrt {2\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}  = {1 \over 2}.2x\) \(\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2}\) \(\Leftrightarrow x = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

ufaindo.xyz