Đề bài

Câu 1: (1 điểm) 🐠Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {100}  + 3\sqrt 8  - 2\sqrt {18} \).

Câu 2: (2 điểm) 💟Giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau:

a) \({x^2} + 6x + 5 = 0\) b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 1}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\) c) \(5x \ge x - 6\)

Câu 3: (1,5 điểm) ❀Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). b) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét điểm \(A\) có hoành độ bằng 5 và \(A\) nằm trên đường thẳng \(d:y = 3x + 1\). Tìm tọa độ các điểm nằm trên đồ thị \(\left( P \right)\) có cùng tung độ với điểm \(A\).

Câu 4: (2 điểm)

a) Vào lúc 6 giờ sáng, ông An đi ô tô xuất phát từ nhà tại Vị Thanh để đi đến cơ quan làm việc ở Cần Thơ cách nhà 50 km. Cùng lúc đó ông Bình đi ô tô từ nhà tại Sóc Trăng đến cùng cơ quan làm việc với ông An cách nhà 60 km. Biết rằng ông Bình đi với tốc độ lớn hơn tốc độ của ông An là 10 km/h nên đã đến cơ quan cùng lúc với ông An. Hỏi ông An và ông Bình đến cơ quan lúc mấy giờ? b) Bạn Tiến có một ổ khóa số với ba vòng xoay. Mỗi vòng xoay có thể cài đặt một chữ số từ 0 đến 9 . Có thể cài đặt ngẫu nhiên một dãy gồm 3 chữ số bất kỳ làm mã số mở khóa. Tính xác suất của biến cố A: "Mã số mở khóa có 3 chữ số giống nhau".

Câu 5: (3 điểm) ♏Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính IC. Gọi D là giao điểm khác I của BI với (O).

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(IA \cdot IC = IB \cdot ID\).

c) Cho \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}},K\) là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Tính độ dài doạn thẳng IK.

Câu 6: (0,5 điểm) ﷽Nhân dịp sinh nhật bạn Hoa, nhóm bạn cùng nhau làm nón sinh nhật bằng giấy có dạng hình nón với bán kính đáy bằng 10 cm và đường sinh bằng 28 cm. Tính diện tích giấy để làm 4 chiếc nón như thế (bỏ qua các mép dán, lấy \(\pi  \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

-------- Hết --------

Lời giải

Câu 1: (1 điểm) 🏅Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {100}  + 3\sqrt 8  - 2\sqrt {18} \).

Lời giải:

\(A = \sqrt {100}  + 3\sqrt 8  - 2\sqrt {18} \) \(A = 10 + 3\sqrt {4.2}  - 2\sqrt {9.2} \) \(A = 10 + 3.2\sqrt 2  - 2.3\sqrt 2 \) \(A = 10 + 6\sqrt 2  - 6\sqrt 2 \) \(A = 10\)

Câu 2: (2 điểm) ♈Giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau:

a) \({x^2} + 6x + 5 = 0\) b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 1}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\) c) \(5x \ge x - 6\)

Lời giải:

a) Ta có \(a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x =  - 5\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x =  - 1\) và \(x =  - 5\) b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 1}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 0}\\{x + y = 1}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{0 + y = 1}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) = (0;1)\) c) \(5x \ge x - 6\) \(5x - x \ge  - 6\) \(4x \ge  - 6\) \(x \ge \frac{{ - 3}}{2}\) Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

Câu 3: (1,5 điểm) ꦆCho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). b) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét điểm \(A\) có hoành độ bằng 5 và \(A\) nằm trên đường thẳng \(d:y = 3x + 1\). Tìm tọa độ các điểm nằm trên đồ thị \(\left( P \right)\) có cùng tung độ với điểm \(A\).

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm: \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);\,\,D\left( {2;4} \right)\) Hệ số \(a = 1 > 0\)nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

b) Gọi điểm A có toạ độ \((m;n)\) Vì điểm A có hoành độ bằng 5 nên \(m = 5\) Vì điểm A nằm trên đường thẳng \(d:y = 3x + 1\) nên ta có: \(n = 3.m + 1\) \(n = 3.5 + 1\) \(n = 16\) Khi đó điểm A có toạ độ là \((5;16)\) Vì tọa độ các điểm nằm trên đồ thị \(\left( P \right)\) có cùng tung độ với điểm \(A\) nên ta thay \(y = 16\) vào \(y = {x^2}\): \(16 = {x^2}\) \(x = 4\) và \(x =  - 4\) Vậy tọa độ các điểm nằm trên đồ thị \(\left( P \right)\) có cùng tung độ với điểm \(A\) là \((4;16)\) và \(( - 4;16)\)

Câu 4: (2 điểm) ⛄a) Vào lúc 6 giờ sáng, ông An đi ô tô xuất phát từ nhà tại Vị Thanh để đi đến cơ quan làm việc ở Cần Thơ cách nhà 50 km. Cùng lúc đó ông Bình đi ô tô từ nhà tại Sóc Trăng đến cùng cơ quan làm việc với ông An cách nhà 60 km. Biết rằng ông Bình đi với tốc độ lớn hơn tốc độ của ông An là 10 km/h nên đã đến cơ quan cùng lúc với ông An. Hỏi ông An và ông Bình đến cơ quan lúc mấy giờ?

b) Bạn Tiến có một ổ khóa số với ba vòng xoay. Mỗi vòng xoay có thể cài đặt một chữ số từ 0 đến 9 . Có thể cài đặt ngẫu nhiên một dãy gồm 3 chữ số bất kỳ làm mã số mở khóa. Tính xác suất của biến cố A: "Mã số mở khóa có 3 chữ số giống nhau".

Lời giải:

a) Gọi vận tốc của ông An là \(x\left( {km/h,x > 0} \right)\) Vận tốc của ông Bình là \(x + 10\left( {km/h} \right)\) Thời gian ông An đi từ nhà đến cơ quan là: \(\frac{{50}}{x}\)(giờ) Thời gian ông Bình đi từ nhà đến cơ quan là: \(\frac{{60}}{{x + 10}}\)(giờ) Vì hai người đến cơ quan cùng lúc nên ta có phương trình: \(\frac{{50}}{x} = \frac{{60}}{{x + 10}}\) \(50\left( {x + 10} \right) = 60x\) \(50x + 500 = 60x\) \(10x = 500\) \(x = 50\) (TMĐK) Thời gian ông An đi từ nhà đến cơ quan là: \(\frac{{50}}{{50}} = 1\)(giờ) Vậy ông An và ông Bình đến cơ quan lúc 7 giờ. b) Vì mỗi vòng xoay có thể cài đặt một chữ số từ 0 đến 9 nên mỗi vòng xoay có 10 cách cài đặt Do đó số kết quả có thể xảy ra là \(10.10.10 = 1000\) Có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố A là:\(\left( {0;0;0} \right);\left( {1;1;1} \right);\left( {2;2;2} \right);\left( {3;3;3} \right);\left( {4;4;4} \right);\left( {5;5;5} \right);\left( {6;6;6} \right);\left( {7;7;7} \right);\left( {8;8;8} \right);\left( {9;9;9} \right)\) Xác suất của biến cố A là: \(\frac{{10}}{{1000}} = \frac{1}{{100}}\)

Câu 5: (3 điểm) 🌺Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính IC. Gọi D là giao điểm khác I của BI với (O).

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh \(IA \cdot IC = IB \cdot ID\).

c) Cho \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}},K\) là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Tính độ dài doạn thẳng IK.

Lời giải:

a)

Do D thuộc đường tròn đường kính IC nên \(\angle IDC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Khi đó \(\Delta BDC\) vuông tại D nên B, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC Tương tự \(\Delta ABC\) vuông tại A nên A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC Vậy A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay ABCD là tứ giác nội tiếp b) Xét \(\Delta IDC\) và \(\Delta IAB\) có \(\angle DIC = \angle AIB\) (2 góc đối đỉnh)    \(\angle CDI = \angle IAB\left( { = 90^\circ } \right)\) Suy ra $\Delta IDC\backsim \Delta IAB\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{IC}}{{IB}}\) hay \(IA.IC = IB.ID\) c) I là trung điểm của AC nên \(IC = \frac{1}{2}AC = 2\) (cm) \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) nên \(BC = 5\) (cm) Gọi E là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn tâm O. Xét \(\Delta KBC\) có BD, CA là đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của \(\Delta KBC\) Khi đó \(KI \bot BC\) (tính chất 3 đường cao đồng quy) Lại có E thuộc đường tròn tâm O nên \(\angle IEC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(IE \bot BC\) Vậy K, I, E thẳng hàng Xét \(\Delta CIE\) và \(\Delta CBA\) có \(\angle ACB\) chung và \(\angle CEI = \angle CAB\left( { = 90^\circ } \right)\) Nên \(\Delta CIE\backsim \Delta CBA\left( g.g \right)\) suy ra \(\frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{IE}}{{AB}}\) hay \(IE = \frac{{CI.AB}}{{CB}} = \frac{{2.3}}{5} = \frac{6}{5}\) (cm) Khi đó \(C{E^2} = I{C^2} - I{E^2} = {2^2} - {\left( {\frac{6}{5}} \right)^2} = \frac{{64}}{{25}}\) hay \(CE = \frac{8}{5}\) (cm) Suy ra \(BE = BC - CE = 5 - \frac{8}{5} = \frac{{17}}{5}\) (cm) Ta có \(\tan \angle ABC = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\) mà \(\tan \angle KBE = \frac{{KE}}{{BE}} = \tan \angle ABC = \frac{4}{3}\) nên \(KE = \frac{4}{3}.BE = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{5} = \frac{{68}}{{15}}\) (cm) Vậy \(IK = KE - IE = \frac{{68}}{{15}} - \frac{6}{5} = \frac{{10}}{3}\) (cm)

Câu 6: (0,5 điểm) ꦇNhân dịp sinh nhật bạn Hoa, nhóm bạn cùng nhau làm nón sinh nhật bằng giấy có dạng hình nón với bán kính đáy bằng 10 cm và đường sinh bằng 28 cm. Tính diện tích giấy để làm 4 chiếc nón như thế (bỏ qua các mép dán, lấy \(\pi  \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Diện tích giấy để làm một chiếc nón là: \(S = \pi rl \approx 3,14.10.28 = 879,2\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)) Diện tích giấy để làm 4 chiếc nón là: \(4S = 879,2.4 \approx 3517{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Vậy diện tích giấy để làm 4 chiếc nón khoảng 3517 \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).