Đề bài

Bạn Hà có một tấm bìa hình vuông cạnh 60 cm (Hình 2). Bạn muốn làm một cái hộp đựng đồ có dạng hình hộp chữ nhật mà có thể để được vào một ngăn sách có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh 37 cm, chiều cao bằng 28 cm. Bạn cắt bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\)  (cm), rồi gập lại thành một cái hộp không nắp (Hình 3♛). Tìm số nguyên dương \(x\) để làm được cái hộp đựng đồ có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Cạnh đáy hình vuông của chiếc hộp không nắp là \(60 - 2x\) (cm). Khi đó ta có \(60 - 2x \le 37\) hay \(x \ge 11,5.\) Chiều cao của chiếc hộp không nắp là \(x\) (cm). Khi đó ta có \(x \le 28.\) Diện tích đáy của chiếc hộp không nắp là \({(60 - 2x)^2}\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)). Thể tích của chiếc hộp không nắp là \(x{(60 - 2x)^2} = x(3600 - 240x + 4{x^2}) = 3600x - 240{x^2} + 4{x^3}\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)). Xét hàm số \(f(x) = 3600x - 240{x^2} + 4{x^3}\) với \(11,5 \le x \le 28.\) Ta có \(f'(x) = 3600 - 480x + 12{x^2}.\) Xét \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3600 - 480x + 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10(ktm)\\x = 30(ktm)\end{array} \right.\)  Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào yêu cầu bài toán ta có \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(x) = f(11,5) = 15743,5\) tại \(x = 11,5.\) Vậy \(x = 11,5\) thì cái hộp có thể tích lớn nhất.