Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có J là trung điểm IC (giả thiết).Suy ra \(\overrightarrow {CI}  = 2\overrightarrow {CJ} \)Do đó \({V_{\left( {C,{\rm{ }}2} \right)}}\left( J \right){\rm{ }} = {\rm{ }}I.\)Chứng minh tương tự, ta được \({V_{\left( {C,{\rm{ }}2} \right)}}\left( L \right){\rm{ }} = {\rm{ }}K,{\rm{ }}{V_{\left( {C,{\rm{ }}2} \right)}}\left( K \right){\rm{ }} = {\rm{ }}B,{\rm{ }}{V_{\left( {C,{\rm{ }}2} \right)}}\left( I \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A.\)Vì vậy \({V_{\left( {C,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA.Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra I là trung điểm BD.Do đó \({Đ_I}\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}D.\)Chứng minh tương tự, ta được \({Đ_I}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}C,{\rm{ }}{Đ_I}\left( K \right){\rm{ }} = {\rm{ }}H.\)Lại có \({Đ_I}\left( I \right){\rm{ }} = {\rm{ }}I.\)

Do đó Đ_I biến hình thang IKBA thành hình thang IHDC.

Vì vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm C, tỉ số 2 và phép đối xứng tâm I biến hình thang JLKI thành hình thang IHDC. Vậy hình thang JLKI và hình thang IHDC đồng dạng với nhau.