Đề bài

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Chứng minh:

a) \({S_{AMB}} = {S_{AMC}}\)

b) \({S_{ABG}} = 2{S_{BMG}}\)

c) \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\)

Lời giải chi tiết

a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.

Hai tam giác AMB và AMC có cùng đường cao AH và có cạnh đáy bằng nhau: BM = CMSuy ra: \({S_{AMB}} = {S_{AMC}}\)(vì \({S_{AMB}} = \frac{1}{2}.AH.BM{;^{}}{S_{AMC}} = \frac{1}{2}.AN.CM\))b) Vẽ đường cao BK của tam giác BGM.Hai tam giác ABG và BMG có cùng đường cao BK và có cạnh đáy AG = 2MG.Suy ra: \({S_{ABG}} = \frac{1}{2}.BK.AG = \frac{1}{2}.BK.2MG = 2.\frac{1}{2}.BK.MG = 2{S_{BMG}}\)c) Ta có:\({S_{ABG}} = \frac{2}{3}{S_{ABM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)Tương tự: \({S_{ACG}} = \frac{2}{3}{S_{ACM}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)Suy ra: \({S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)