Đề bài

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right)\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5} \); c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ne  - 1\) với mọi n và \({x_n} \to  - 1\) khi \(n \to  + \infty \). Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^3 - 3{x_n}} \right) = \lim x_n^3 - 3\lim {x_n} = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) = 2\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^3} - 3x} \right) = 2\); b) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \ge \frac{{ - 5}}{2},{x_n} \ne 2\) với mọi n và \(\lim {x_n} = 2\) Ta có: \(\lim \sqrt {2{x_n} + 5}  = \sqrt {2\lim {x_n} + \lim 5}  = \sqrt {2.2 + 5}  = 3\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5}  = 3\); c) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} =  + \infty \). Ta có: \(\lim \frac{{4 - {x_n}}}{{2{x_n} + 1}}\)\( = \lim \frac{{\frac{4}{{{x_n}}} - 1}}{{2 + \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{\lim \frac{4}{{{x_n}}} - \lim 1}}{{\lim 2 + \lim \frac{1}{{{x_n}}}}}\)\( = \frac{{0 - 1}}{{2 + 0}} = \frac{{ - 1}}{2}\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 1}} = \frac{{ - 1}}{2}\).