Đề bài

Cho đa thức \(F\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + m - 1\), trong đó m là một số cho trước. a) Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức F(x). b) Chứng tỏ rằng: Nếu đa thức F(x) có nghiệm \(x = 0\) thì \(m = 1\); ngược lại, nếu \(m = 1\) thì đa thức F(x) có nghiệm \(x = 0\). c) Cho biết \(m = 1\), hãy thử tìm thêm các nghiệm khác 0 của F(x) để thấy rằng F(x) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

a) Đa thức F(x) có bậc 3 và hệ số tự do là \(m - 1\). b) Thay \(x = 0\) vào F(x), ta được \(F\left( 0 \right) = m - 1\). Sử dụng kết quả này, ta có:

• Nếu đa thức F(x) có nghiệm \(x = 0\) thì \(F\left( 0 \right) = 0\), suy ra \(m - 1 = 0\). Do đó, \(m = 1\).
• Ngược lại, nếu \(m = 1\) thì \(F\left( 0 \right) = 1 - 1 = 0\), chứng tỏ \(x = 0\) là nghiệm đa thức F(x).

c) Khi \(m = 1\), ta có \(F\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\). Ta thấy:

• \(F\left( 1 \right) = {1^3} - {3.1^2} + 2.1 = 0\). Vậy \(x = 1\) là nghiệm của đa thức F(x).
• \(F\left( 2 \right) = {2^3} - {3.2^2} + 2.2 = 0\). Vậy \(x = 2\) là nghiệm của đa thức F(x).

Tóm lại, khi \(m = 1\), đa thức \(F\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\) có ba nghiệm là \(x = 0\), \(x = 1\) và \(x = 2\).