Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB).  a) Tính OA, OB, b) Chứng minh rằng  \(\overrightarrow {OD}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} \) c) Tìm toạ độ điểm D.  

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5;OB = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\)b) Theo tính chất đường phân giác ta có:\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BD = 2AD\)Do D thuộc AB nên \(\overrightarrow {AD} \)  và \(\overrightarrow {BD} \) ngược hướng.\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BD}  =  - 2\overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OB}  =  - 2\left( {\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OA} } \right)\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OA} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OA} \end{array}\)c) Gọi \(D({x_o};{y_o})\) từ b suy ra \(\;\left\{ \begin{array}{l}{x_o} = \frac{2}{3}{x_A} + \frac{1}{3}{x_B} = \frac{{14}}{3}\\{y_o} = \frac{2}{3}{y_A} + \frac{1}{3}{y_B} = \frac{{14}}{3}\end{array} \right.\)Vậy \(D\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\)