Đề bài

ꦗCho hình hình hành \(ABCD\) có \(AD = 2AB\). Từ \(C\) vẽ \(CE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\). Nối \(E\) với trung điểm \(M\) của \(AD\). Từ \(M\) vẽ \(MF\) vuông góc với \(CE\) tại \(F\), \(MF\) cắt \(BC\) tại \(N\).

a) Tứ giác \(MNCD\) là hình gì?

b) Chứng minh tam giác \(EMC\) cân tại \(M\)

🎃c) Chứng minh rằng \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)

Hướng dẫn:

🐷a) Chứng minh \(EN = NC = NB = \) \(\frac{1}{2}\) \(BC\)

𝔉b) Chứng minh \(\widehat {AEM} = \widehat {EMN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = \frac{1}{2}\widehat {NCD}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(MN \bot CE\) (gt)

\(AB \bot CE\) (gt)

Suy ra \(MN\) // \(AB\)

꧅\(MN\)Mà \(AB\) // \(CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) nên \(MN\)

 // \(CD\)

Xét tứ giác \(MNCD\) ta có:

\(MN\) // \(CD\) (cmt)

\(MD\) // \(CN\) (do \(AD\) // \(BC\))

Suy ra \(MNCD\) là hình bình hành

Lại có:

 \(AD = 2AB\) (gt);    

\(AD = 2MD\) (do \(M\) là trung điểm của \(AD\))

\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(MD = CD\)

ꦍHình bình hành \(MNCD\) có \(MD = CD\) (cmt) nên là hình thoi

ꩵb) Vì \(MNCD\) là hình thoi nên \(MD = CD = NC = MN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\) (do \(AD = BD\))

🎶Do \(NC = \frac{1}{2}BC\) nên \(N\) là trung điểm của \(BC\)

🐬Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E\) có \(EN\) là trung tuyến nên \(EN = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(EN = NB = NC = \frac{1}{2}BC\)

Suy ra \(\Delta NEC\) cân tại \(N\)

Mà \(NF\) là đường cao (do \(MF \bot EC\))

🅘Suy ra \(NF\) cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của \(\Delta NEC\)

Suy ra \(F\) là trung điểm \(EC\)

𓃲Xét \(\Delta MEC\) có \(MF\) là đường cao đồng thời là trung tuyến

Suy ra \(\Delta EMC\) cân tại \(M\)

c) Vì \(AB\) // \(MN\) (cmt)

𒐪Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{EMN}}}\) (so le trong)

🧔Mà \(\widehat {{\rm{EMN}}} = \widehat {{\rm{NMC}}}\) (do \(MF\) là phân giác)

🍒\(\widehat {{\rm{NMC}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\) (do \(MN\) // \(CD\))

🌳Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}\)

ꦓMà \(\widehat {{\rm{MCD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCD}}}\) (do \(MNCD\) là hình thoi)

🌄Và \(\widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BAD}}}\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)

🌼Suy ra \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\)

Suy ra \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)