Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc \(\alpha \left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\). Kí hiệu diện tích tam giác ABC là \(S\left( \alpha  \right)\) (phụ thuộc vào \(\alpha \)). Xét tính liên tục của hàm số \(S\left( \alpha  \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right)\); \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha  \right)\) 

Lời giải chi tiết

\(S\left( \alpha  \right) = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.2\cos \alpha .2\sin \alpha  = \sin 2\alpha ,\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Do hàm số \(y = \sin 2\alpha \) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(y = S\left( \alpha  \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {0^ + }} \sin 2\alpha  = \sin 0 = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} S\left( \alpha  \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \sin 2\alpha  = \sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0\)