Đề bài

Giải bài toán dân gian sau: Em đi chợ phiên Anh gửi một tiền Cam, thanh yên, quýt Không nhiều thỉ ít Mua đủ một trǎm Cam ba đồng một Quýt một đồng năm Thanh yên tươi tôt Năm đồng một trái. Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiển bằng 60 đồng?

Lời giải chi tiết

Gọi số quả Cam, thanh yên, quýt lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))“Mua đủ một trǎm” tức là \(x + y + z = 100\)“Cam ba đồng một” => giá một quả cam là 3 đồng“Quýt một đồng năm” => giá một quả quýt là \(\frac{1}{5} = 0,2\) đồngThanh yên giá 5 đồng/quả.Tổng số tiền là 1 tiền = 60 đồng nên ta có: \(3x + 0,2y + 5z = 60\)Ta có hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\3x + 0,2y + 5z = 60\end{array} \right.\)Nhân phương trình thứ nhất với 3 rồi trừ đi phương trình thứ 2 theo từng vế tương ứng ta được\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\2,8y - 2z = 240\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\1,4y - z = 120\end{array} \right.\)Từ phương trình thứ hai ta có: \(z = 1,4y - 120\)Thay vào phương trình thứ nhất ta được \(x = 220 - 2,4y\)Vì  \(x,y,z \in \mathbb{N}*\) nên \(y \vdots 10\) và \(\left\{ \begin{array}{l}1,4y - 120 > 0\\220 - 2,4y > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(y \vdots 10\) và \(\frac{{120}}{{1,4}} < y < \frac{{220}}{{2,4}}\) hay \(86 \le y \le 91\). Do đó \(y = 90 \Rightarrow x = 4,z = 6\)Vậy người đó đã mua 4 quả cam, 90 quả quýt và 6 quả thanh yên.