Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\); b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có \(y = x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}\). Sự biến thiên: + Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\), khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\). + Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\); hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). + Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với \({y_{CĐ =- 4}}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\) với \({y_{CT = 4}}\). + Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 4}}{{x - 2}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 2\). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 4} \right)\), không cắt trục hoành. Đồ thị nhận \(\left( {2;0} \right)\) làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b)  Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y = 2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}\) Sự biến thiên: + Ta có \(y' = \frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\). + Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). + Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 1\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{6}{{x + 1}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 1\). + Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 5} \right)\), cắt trục hoành tại các điểm \(\left( {\frac{{ - 5}}{2};0} \right)\)và \(\left( {1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\). Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.