Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\); b) \(y = {x^2}\ln x\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\) Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 0\) hoặc \(x = 1\). Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { 0} \right) = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = 2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\). b) Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right)\) Ta có \(y' = 2x\ln x + x\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow \ln x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\) Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\) và \({y_{CT}} = y\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) =  - \frac{1}{{2e}}\).