Đề bài

Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng \(3\) km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P \(12\) km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc \(2,5\) km/h và đi bộ với vận tốc \(4\) km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi vị trí hòn đảo là B và vị trí thuyền neo đậu trên bờ là C. Ta cần tìm vị trí điểm C trên đoạn PA sao cho thời gian thuyền đi từ đảo vào bờ (đoạn BC) và đi bộ tiếp từ C đến thị trấn A (đoạn CA) là ngắn nhất. Gọi đoạn PC = x (km) với \(0 \le x \le 12\). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BPC vuông tại P có: \(BC = \sqrt {{x^2} + 9} \) (km). Thuyền đi với vận tốc 2,5 km/h nên thời gian đi hết đoạn BC là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{2,5}}\) (giờ). Ta có: AC = PA – x = 12 – x (km). Người đi bộ với vận tốc 4 km/h nên thời gian đi hết đoạn AC là \(\frac{{12 - x}}{4}\) (giờ). Tổng thời gian người đó đi từ đảo đến thị trấn A là: \(T(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{{2,5}} + \frac{{12 - x}}{4}\) (giờ). Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm T(x) trên đoạn [0;12]. Ta có: \(T'(x) = \frac{{2x}}{{5\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{4}\). \(T'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{5\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow 8x = 5\sqrt {{x^2} + 9} \). Giải phương trình trên ta được \(x = \frac{{5\sqrt {39} }}{{13}} \approx 2,4\) là giá trị thỏa mãn điều kiện. Bảng biến thiên:

Vậy điểm neo đậu thuyền trên đoạn PA cách P khoảng 2,4 km để thời gian di chuyển là ngắn nhất.