Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại . Qua \(O\), kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) tại \(E\), kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AD\) tại \(F\). a) Chứng minh: \(EF//BD\); b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(G\) và đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(CD\) tại \(H\). Chứng minh rằng \(CG.DH = BG.CH\).

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(ADC\) có \(OF//DC\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (1) Xét tam giác \(ABC\) có \(OE//BC\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) Xét tam giác \(ABD\) có: \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) Theo định lí Thales đảo suy ra \(EF//BD\). b) Xét tam giác \(ADC\) có \(OH//AD\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{CH}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{AC}}\) (3) Xét tam giác \(ABC\) có \(OG//AB\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{CG}}{{BC}} = \frac{{CO}}{{AC}}\) (4) Từ (3) và (4) suy ra, \(\frac{{CH}}{{CD}} = \frac{{CG}}{{BC}}\) Theo định lí Thales đảo suy ra \(GH//BD\). Xét tam giác \(BCD\) có \(GH//BD\), theo định lí Thales ta có: \(\frac{{CH}}{{DH}} = \frac{{CG}}{{BG}} \Rightarrow CH.BG = DH.CG\) (điều phải chứng minh).