Đề bài

Cho \(a = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \) và \(b = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \). Chứng minh: a) \(a - b\) là một số nguyên. b) \(ab\) là một số tự nhiên.

Lời giải chi tiết

a) \(a - b \) \(= \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  \) \(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  \) \(= \left| {\sqrt 2  - 1} \right| - \left| {\sqrt 2  + 1} \right| \) \(= \left( {\sqrt 2  - 1} \right) - \left( {\sqrt 2  + 1} \right) \) \(=  - 2.\) Vậy \(a - b\) là một số nguyên. b) \(a.b \) \(= \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } .\sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  \) \(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  \) \(= \left| {\sqrt 2  - 1} \right|.\left| {\sqrt 2  + 1} \right|\\ \) \(= \left( {\sqrt 2  - 1} \right).\left( {\sqrt 2  + 1} \right) \) \(= {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 1 \) \(= 2 - 1 \) \(= 1.\) Vậy \(ab\) là một số tự nhiên.