Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) \(y =  - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1\); b) \(y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2\); c) \(y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1\); d) \(y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y =  - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' =  - 3{x^2} - 6x + 24;y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) hoặc \(x = 2\). Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;2} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại $x=2,{{y}_{CĐ}}=27$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 4,{y_{CT}} =  - 81\). b) Xét hàm số \(y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 16x + 5;y' = 0 \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \({\rm{x}} = \frac{1}{3}\). Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right)\). Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3},{{y}_{CĐ}}=\frac{76}{27}$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 5,{y_{CT}} =  - 48\). c) Xét hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x + 3 = 3{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{5}{3} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị. d) Xét hàm số \(y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' =  - 9{x^2} + 6x - 1 =  - {\left( {3x - 1} \right)^2};y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\). Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị.