Đề bài

Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31. a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân. c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \(\widehat {ABE} + \widehat {EBD} + \widehat {DBC} = 60^0 + 60^0 + 60^0 = {180^0}\)Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàngb, Do:\(\begin{array}{l}\widehat {BDE} = \widehat {DBC} = {60^0} \Rightarrow ED//BC\left( 1 \right)\\\widehat {BED} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ED//AB\left( 2 \right)\end{array}\)Từ (1), (2) suy ra: ED//AC suy ra tứ giác ACDE là hình thangMà: \(\widehat {EAC} = \widehat {DCA} = {60^0}\) suy ra hình thang ACDE là hình thang cânc, Gọi BH là đường cao của tam giác BDE. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BHD vuông tại H, ta có:\(B{D^2} = B{H^2} + H{D^2} \Rightarrow B{H^2} = B{D^2} - H{D^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = a\sqrt {\frac{3}{4}} \)AC = a + a = 2aDiện tích của tứ giác ACDE là: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.BH.(ED + AC) = \frac{1}{2}.a\sqrt {\frac{3}{4}} .(2a + a) = \frac{{3{a^2}}}{2}\sqrt {\frac{3}{4}} \)