Đề bài

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh, một trường Trung học phố thông đã tổ chức cho học sinh tham gia các trò chơi. Ban tổ chức đã chọn 100 bạn và chia thành ba nhóm A, B, C để tham gia trò chơi thứ nhất. Sau khi trò chơi kết thúc, ban tổ chức chuyển \(\frac{1}{3}\) số bạn ở nhóm A sang nhóm B; \(\frac{1}{2}\) số bạn ở nhóm B sang nhóm C; số bạn chuyển từ nhóm C sang nhóm A và B đều bằng \(\frac{1}{3}\) số bạn ở nhóm C ban đầu. Tuy nhiên, người ta nhận thấy số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi. Ban tổ chức đã chia mỗi nhóm bao nhiêu bạn?

Lời giải chi tiết

Gọi số bạn ở mỗi nhóm A, B, C mà ban tổ chức đã chia lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))Có tổng 100 bạn nên \(x + y + z = 100\)Sau khi trò chơi kết thúc,số bạn ở nhóm A là: \(x - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}z\),số bạn ở nhóm B là: \(y + \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z\)số bạn ở nhóm C là: \(z - 2.\frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y = \frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y\)Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên\(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}z = x;\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z = y;\frac{1}{3}z + \frac{1}{2}y = z\\ \Rightarrow  - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = 0;\frac{1}{2}y = \frac{2}{3}z\end{array}\)Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 100\\ - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}z = 0\\\frac{1}{2}y - \frac{2}{3}z = 0\end{array} \right.\)Dùng máy tính cầm tay, giải hpt ta được \(x = 30,y = 40,z = 30\)Vậy Ban tổ chức đã chia 30 bạn vào nhóm A, 40 bạn vào nhóm B và 30 bạn vào nhóm C.