Đề bài

Cho hai hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) và \(S'.A'B'C'\) lần lượt có độ dài cạnh đáy là \(a\) và \(a'\), độ dài trung đoạn là \(d\) và \(d'\). Tính tỉ số giữa \(d\) và \(d'\), biết diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S'.A'B'C'\left( {k \ne 0} \right)\) và \(a = 2a'\). Biết rằng \(a,a',d,d'\) cùng đơn vị đo.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d\), ta có:Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:\(\frac{1}{2}.\left( {3a} \right).d = \frac{1}{2}.3.2a'.d = 3a'd\)Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S'.A'B'C'\) là:\(\frac{1}{2}.\left( {3a'} \right).d' = \frac{3}{2}a'd'\)Do diện tích xung quanh của \(S.ABC\) gấp \(k\) lần diện tích xung quanh của \(S'.A'B'C'\) nên \(3a'd = k.\frac{3}{2}a'd'\). Suy ra \(\frac{d}{{d'}} = \frac{k}{2}\).Vậy tỉ số giữa \(d\) và \(d'\) là \(\frac{k}{2}\).