Đề bài

Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Lời giải chi tiết

Do tứ diện \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\).Gọi \(O\) là tâm đáy\(A'B'C'\),\(O\) là trọng tâm đáy\(A'B'C'\)\(A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A'O = \frac{2}{3}A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)Ta có \(AO \bot \left( {\;A'B'C'} \right) \Rightarrow AO = \sqrt {A{{A'}^2} - A'{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)Diện tích tam giác \(A'B'C':S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng \(V = AO.{S_{A'B'C'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)

Chọn B