Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC\). Gọi \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(AB,AC\). a)     Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao? b)    Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng c)     Chứng minh khi điểm \(M\) thay đổi vị trí trên cạnh \(BC\) thì chu vi của tứ giác \(ADME\) không đổi.

Lời giải chi tiết

a)     Tứ giác \(ADME\) có \(\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ \) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.b)    Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên hai đường chéo \(DE\) và \(AM\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà \(I\) là trung điểm của \(DE\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(AM\). Vậy ba điểm \(A < I,M\) thẳng hàng.c)     Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(DM//AC\). Suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ACB}\) (hai góc so le trong). Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ \). Do đó, tam giác \(BDM\) cân tại \(D\). Suy ra \(BD = DM\).Chu vi hình chữ nhật \(ADME\) là: \(2\left( {AD + DM} \right) = 2\left( {AD + BD} \right) = DM\)Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của tứ giác \(ADME\) không đổi.d)     

Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên \(AM = DE\)Suy ra \(DE\) có độ dài nhỏ nhất khi \(AM\) có độ dài nhỏ nhất. vậy \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(BC\).Trong tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) ta cóL \(AC = AB = 2cm\) và \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 8\)Suy ra \(BC = \sqrt 8 cm\)\(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). Suy ra \(BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \sqrt 2 cm\)Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) nên \(\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ \). Suy ra tam giác \(ABM\) vuông cân tại \(M\). Do đó \(AM = BM = \sqrt 2 cm\). Vậy \(DE = \sqrt 2 cm\).