Đề bài

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) 🔯Chứng minh thể tích khối chóp tương ứng là \(V = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\), trong đó x là chiều cao hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(HN = x\cot \alpha ;MN = 2x\cot \alpha \). Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}M{N^2} \cdot SH = \frac{4}{3}{x^3}{\cot ^2}\alpha \). Ta tính \({\cot ^2}\alpha \) theo R và x. Từ đẳng thức \(SH = IH + IS\) ta có \(x = R + \frac{R}{{\cos \alpha }}\). Do đó \(\cos \alpha  = \frac{R}{{x - R}}\) suy ra \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2Rx}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}};{\cot ^2}\alpha  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{R^2}}}{{x\left( {x - 2R} \right)}}\) Từ đó ta được \(V = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\). b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}},x > 2R\). Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\min V = \frac{{32}}{3}{R^3}\) khi \(x = 4R\).