a)

Vẽ đồ thị các hàm số sau đây trên cùng một mặt phẳng tọa độ: \(y = x\); \(y = x + 2\); \(y =  - x\); \(y =  - x + 2\).

Phương pháp giải:

- Để vẽ đồ thị hàm số \(y = ax\), ta thường thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định một điểm \(M\) trên đồ thị khác gốc tọa độ \(O\), chẳng hạn \(M\left( {1;a} \right)\). Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(O\) và \(M\). Đồ thị hàm số \(y = ax\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O\) và \(M\). - Để vẽ đồ thị hàm số \(y = ax + b\) ta làm như sau: Bước 1: Cho \(x = 0 \Rightarrow y = b\) ta được điểm \(A\left( {0;b} \right)\) trên trục \(Oy\). Cho \(y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\) ta được điểm \(B\left( {\dfrac{{ - b}}{a};0} \right)\) trên \(Ox\). Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\). Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\). - Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) là một đường thẳng và song song với đường thẳng \(y = ax\).

Lời giải chi tiết:

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = x\) Cho \(x = 1\) thì \(y = 1\) suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(A\left( {1;1} \right)\). - Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 2\) Cho \(x = 0 \) thì \(y = 2\) ta được điểm \(B\left( {0;2} \right)\) trên trục \(Oy\). Cho \(y = 0 \) thì \(x =  - 2\) ta được điểm \(M\left( { - 2;0} \right)\) trên \(Ox\). Đồ thị hàm số\(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(B\left( {0;2} \right)\) và \(M\left( { - 2;0} \right)\). - Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - x\) Cho \(x = -1 \) thì \(y =  1\) suy ra đồ thị hàm số đi qua điểm \(C\left( {-1;1} \right)\). Đồ thị hàm số \(y =  - x\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(C\left( {- 1;1} \right)\). - Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - x + 2\) Cho \(x = 0 \) thì \(y = 2\) ta được điểm \(B\left( {0;2} \right)\) trên trục \(Oy\). Cho \(y = 0 \) thì \(x = 2\) ta được điểm \(N\left( {2;0} \right)\) trên \(Ox\). Đồ thị hàm số \(y =  - x + 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(B\left( {0;2} \right)\) và \(N\left( {2;0} \right)\).

b)

Bốn đồ thị nói trên cắt nhau tại các điểm \(O\left( {0;0} \right),A,B,C\). Tứ giác có bốn đỉnh \(O;A;B;C\) là hình gì? Giải thích.

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh và góc của tứ giác. Chú ý: Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Vì đường thẳng \(y = x\);\(y = x + 2\) song song với nhau và \(y =  - x\);\(y =  - x + 2\) song song với nhau nên tứ giác \(OABC\) là hình bình hành. Lại có \(OC;OA\) là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là 1 nên \(OC = OA\). Do đó, tứ giác \(OABC\) là hình thoi. Lại có \(OC;OA\) là đường chéo của hình vuông nên cũng là đường phân giác. Do đó, \(\widehat {COB} = \widehat {AOB} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat {COA} = \widehat {COB} + \widehat {AOB} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ \) Hình thoi \(OABC\) có góc \(\widehat {COA} = 90^\circ \) nên tứ giác \(OABC\) là hình vuông.