Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF \(\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)\) cắt nhau tại I. Chứng minh: a) \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\);

b) \(\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC có CI là tia phân giác của góc ACD nên theo tính chất của đường phân giác của tam giác ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AC}}{{DC}}\), suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{ID}}{{DC}} = \frac{{AI + ID}}{{AC + DC}} = \frac{{DA}}{{AC + DC}}\)Do đó, \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AC + DC}}{{DC}}\) (1)Tam giác ADB có BI là tia phân giác của góc ABD nên theo tính chất của đường phân giác của tam giác ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{DB}}\), suy ra \(\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{DB}} = \frac{{AI + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{DA}}{{AB + BD}}\)Do đó, \(\frac{{AD}}{{ID}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}}\) (2)Từ (1) và (2) ta có:\(\frac{{AD}}{{DI}} = \frac{{AB + BD}}{{BD}} = \frac{{AC + DC}}{{CD}} = \frac{{AB + BD + AC + DC}}{{BD + CD}}\)Do đó, \(\frac{{AD}}{{DI}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{BC}}\),suy ra: \(\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}\).b) Tương tự phần a ta có:\(\frac{{EI}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC + CA}}\), \(\frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AB + BC + CA}}\) Do đó, \(\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{AB + BC + CA}}{{AB + BC + CA}} = 1\)