Đề bài

Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a)      Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. b)     Cho \(AC = BD\). Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. c)      Cho \(AC \bot BD\). Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

a)      Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\) Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ACD. \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PQ//AC\\PQ = \frac{1}{2}AC\end{array} \right.\) Khi đó \(MN//PQ\) và \(MN = PQ\). Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành (dhnb). b)     Vì Q và M lần lượt là trung điểm của DA và AB nên QM là đường trung bình của tam giác ABD. \( \Rightarrow QM = \frac{1}{2}BD\) Mà \(AC = BD\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\) nên \(QM = MN\). Mà MNPQ là hình bình hành nên khi đó MNPQ là hình thoi (dhnb). c)      Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\\QM//BD\\MN//AC\end{array} \right\} \Rightarrow QM \bot MN\) Mà MNPQ là hình bình hành nên khi đó MNPQ là hình chữ nhật (dhnb).