Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\). Gọi \(\alpha \), \(\beta \) lần lượt là số đo của các góc nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right]\) và \(\left[ {B,SO,C} \right]\). Tính \(\alpha  + \beta \).

Lời giải chi tiết

Gọi \(P\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SO\). Trên \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(SC\) và \(AP\). Trên \(\left( {SBD} \right)\), kẻ \(NP \bot SO\) với \(N \in SB\).Dễ thấy rằng 4 điểm \(A\), \(P\), \(M\), \(N\) đồng phẳng.Vì \(AP \bot SO\), \(NP \bot SO\) nên góc \(\widehat {APN}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right]\), tức là \(\alpha  = \widehat {APN}\).Chứng minh tương tự, ta có \(\beta  = \widehat {NPM}\)Suy ra \(\alpha  + \beta  = \widehat {APN} + \widehat {NPM} = \widehat {APM}\). Mặt khác, do \(A\), \(P\), \(M\) thẳng hàng, nên ta có \(\widehat {APM} = {180^o}\).Như vậy \(\alpha  + \beta  = {180^o}\).