Đề bài

Tìm \(m\) để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\): \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 5}  - 2}}{{x + 1}}}&{{\rm{\;khi\;}}x >  - 1}\\{m \cdot {4^{ - x}} + 1}&{{\rm{\;khi\;}}x \le  - 1}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).Hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x =  - 1\).Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  - 1\).

 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {m{{.4}^{ - x}} + 1} \right) = 4m + 1\) và \(f\left( { - 1} \right) = 4m + 1\)Suy ra hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{4} = 4m + 1 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{{16}}\).