Đề bài

Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng \(AD = 2cm\).

Lời giải chi tiết

Do CA là tia phân giác của \(\widehat C\) nên \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\)Mà ABCD là hình thang cân nên \(AB//CD\), suy ra \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD}\) hai góc so le trong)Do đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA}\), suy ra \(\Delta ABC\) cân tại B.Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \) thì \(\widehat C = 2\alpha \).Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat D = \widehat C = 2\alpha \).Tam giác ADC vuông tại A nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 2\alpha  + \alpha  = 90^\circ \), suy ra \(\alpha  = 30^\circ \), \(\widehat D = 60^\circ \).Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho\(DM = AD\), mà \(\widehat D = 60^\circ \) thì \(\Delta AMD\)là tam giác đều, nên \(\widehat {MAD} = 60^\circ \).

Khi đó \(\widehat {MAC} = \widehat {CAD} - \widehat {MAD} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

 Suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {CAM} = 30^\circ \) nên tam giác MAC cân tại MDo đó \(AM = MC\), mà \(AM = DM = AD\)Nên \(AM = DM = AD = MC\) hay \(DC = 2AD.\)Vậy \(AB = BC = AD,DC = 2AD\) nên chu vi hình thang bằng \(AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10cm\).