Đề bài

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A­₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh \(O{A^2}\; = {\rm{ }}O{M^2}\; + {\rm{ }}O{N^2}\; + {\rm{ }}O{P^2}.\) b) Áp dụng ý a để chứng minh \(OA = \sqrt {\frac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \) Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: 

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²) 

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP². 

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃ 

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: \(OA_3^2 + OA_2^2 + OA_1^2 = 2O{A_2}\).Suy ra \(OA = \sqrt {\frac{{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}}{2}} \).Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.Thay số vào kết quả trên ta được: \(OA = \sqrt {\frac{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}}{2}}  = \sqrt 7 \) (cm).