Đề bài

Cho đường thẳng \(d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2\) với \(m \ne \frac{1}{2}\). Tìm giá trị của \(m\) để: a)     Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \({d_1}:y = \frac{1}{2}mx - 2\) với \(m \ne 0\); b)    Đường thẳng \(d\) trùng với đường thẳng \({d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2\); c)     Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục \(Oy\).

Lời giải chi tiết

a)     Để \(d\) song song với \({d_1}\) thì \(m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}m\) và \(2m - 2 \ne  - 2\). Suy ra \(m = 1\).Dễ thấy với \(m = 1\) ta có \(d\) và \({d_1}\) trở thành \(d:y = \frac{1}{2}x\) và \({d_1}:y = \frac{1}{2}x - 2\). Khi đó, \(d\) song song với \({d_1}\).b)    Để \(d\) trùng với \({d_1}\) thì \(m - \frac{1}{2} = 1\) và \(2m - 2 =  - \frac{2}{3}m + 2\). Suy ra \(m = \frac{3}{2}\).c)     Đường thẳng \(d\)và đường thẳng \({d_3}\) lần lượt cắt trục \(Oy\) tại \(A\left( {;2m - 2} \right)\) và \(B\left( {0; - m + 2} \right)\). Do đó, \(d\) và \({d_3}\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục \(Oy\) khi \(m - \frac{1}{2} \ne \sqrt 2 \) và \(2m - 2 =  - m + 2\). Suy ra \(m = \frac{4}{3}\).Dễ thấy với \(m = \frac{4}{3}\) ta có \(d\) và \({d_3}\) trở thành \(d:y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}\) và \({d_3}:y = \sqrt 2 x + \frac{2}{3}\)Khi đó \(d\) và \({d_3}\) cắt nhau tại điểm \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) nằm trên trục \(Oy\)