Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 53^\circ ,\widehat {BAC} = 90^\circ \) , AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Vẽ tia Bx vuông góc với BC. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = HA (Hình 23).

 

a) Chứng minh ∆AHB = ∆DBH. b) Chứng minh DH vuông góc với AC. c) Tính số đo góc BDH.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆AHB và ∆DBH có:\(\widehat {AHB} = \widehat {HB{\rm{D}}}\) (cùng bằng 90°),BH là cạnh chung,AH = BD (giả thiết),Suy ra ∆AHB = ∆DBH (hai cạnh góc vuông).Vậy ∆AHB = ∆DBH.b) Do ∆AHB = ∆DBH (chứng minh câu a) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {DHB}\) (hai góc tương ứng).Mà \(\widehat {ABH},\widehat {DHB}\) ở vị trí so le trongDo đó AB // DH.Lại có, AB ⊥ AC nên DH ⊥ AC (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).Vậy DH ⊥ AC.c) Do ∆AHB = ∆DBH (chứng minh câu a) nên\(\widehat {BAH} = \widehat {HDB}\)  (hai góc tương ứng).Xét tam giác ABH vuông tại H có:\(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).Suy ra \(\widehat {BAH} = 90^\circ  - \widehat {ABH} = 90^\circ  - 53^\circ  = 37^\circ \).Do đó \(\widehat {BDH} = 37^\circ \).Vậy \(\widehat {BDH} = 37^\circ \)