Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa khung thực tế bằng 4, tiêu cự bằng 10.

b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).

c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).

Lời giải chi tiết

a)

+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).

+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

💙\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)

⇒PTCT của hypebol  

🏅\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

b)

+ Tiêu cự bằng 🌟\(2\sqrt {13}  = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)

🍃+ Ta có: \(2\sqrt {13}  = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

ꦉ\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)

𓃲Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)

🐠\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)

 

⇒PTCT của hypebol

♏\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

c,

 + Tâm sai của hypebol:⛎\(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5  \Leftrightarrow c = a\sqrt 5  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

𒊎\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\)(1).

♛+ Hypebol đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\)nên ta có: \(\frac{{{{(\sqrt {10} )}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (2).

 Thay (1) vào (2) ta có:

𝕴\(\frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} - \frac{9}{{{a^2}}} = 1\)

ඣ\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2.\)

⇒PTCT của hypebol

 

♛\(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).

+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

♐\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)

⇒PTCT của hypebol: 🎃\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

b)

+ Tiêu cự bằng𝓀\(2\sqrt {13}  = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)

🐲+ Ta có:\(2\sqrt {13}  = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

💙\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)

♛Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)

ಌ\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)

 

⇒PTCT của hypebol: ღ\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

c,