Đề bài

Kí hiệu \({S_{ABC}}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. a) Chứng minh \({S_{GBC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Gợi ý. 🍸Sử dụng \(GM = \frac{1}{3}AM\) để chứng minh \({S_{GBM}} = \frac{1}{3}{S_{ABM}},{S_{GCM}} = \frac{1}{3}{S_{ACM}}\).

b) Chứng minh \({S_{GCA}} = {S_{GAB}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Nhận xét. ﷽Từ bài tập trên ta có: \({S_{GBC}} = {S_{GCA}} = {S_{GAB}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\), điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({S_{GBC}} \) \(= {S_{BGM}} + {S_{CGM}}\). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(GM \) \(= \frac{1}{3}AM\), suy ra \({S_{GBM}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABM}},{S_{GCM}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{ACM}}\). Suy ra: \({S_{GBC}} \) \(= {S_{BGM}} + {S_{CGM}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABM}} + \frac{1}{3}{S_{ACM}} \) \(= \frac{1}{3}\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}}} \right) \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABC}}\). b) Tương tự \(GN \) \(= \frac{1}{3}BN\) nên \({S_{GAC}} \) \(= {S_{CGN}} + {S_{AGN}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{BCN}} + \frac{1}{3}{S_{ABN}} \) \(= \frac{1}{3}\left( {{S_{BCN}} + {S_{ABN}}} \right) \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABC}}\) Vì \(GP \) \(= \frac{1}{3}CP\) nên \({S_{GAB}} \) \(= {S_{BGP}} + {S_{AGP}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{BCP}} + \frac{1}{3}{S_{APC}} \) \(= \frac{1}{3}\left( {{S_{BCP}} + {S_{APC}}} \right) \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABC}}\) Vậy \({S_{GBC}} \) \(= {S_{GCA}} \) \(= {S_{GAB}} \) \(= \frac{1}{3}{S_{ABC}}\)