Đề bài

Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo. a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó. b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3cm.

Lời giải chi tiết

(H.5.4)

a) Do ABCD là hình vuông nên \(AC = BD\) (hai đường chéo bằng nhau), \(AE = EB = EC = ED\) (nửa đường chéo). Do đó, A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E, bán kính AE.  Hai đường chéo đi qua E nên AC và BD là hai trục đối xứng của đường tròn đó. b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có \(AB = BC = 3cm\) nên theo định lí Pythagore, ta được \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 18\), suy ra \(AC = 3\sqrt 2 \)cm. Vậy bán kính của đường tròn tâm E là \(AE = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( {cm} \right)\).