Đề bài

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \). a) Tính theo a thể tích khối chóp \(S.ABCD.\) b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SB\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).Ta có tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) nên theo định lí Pythagore: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

 

b) Vì \(AD//\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SB\) nên\(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)Đường thẳng \(AO\) cắt mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tại \(C\) và \(O\) là trung điểm của đoạn \(AC\) nên \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M,OH\) vuông góc với \(SM\) tại \(H\) thì\(BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\), khi đó \(OH = \frac{{SO \cdot OM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\). Vậy \(d\left( {AD,SB} \right) = 2.OH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).