Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {e^x},{\rm{ }}y = \sqrt x ,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1\); b) \(y = \cos x,{\rm{ }}y = \frac{1}{2},{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = \frac{\pi }{3}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \({e^x} \ge 1 \ge \sqrt x \) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\) nên diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - \sqrt x } \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - \sqrt x } \right)dx}  = \left. {\left( {{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^1 = e - \frac{2}{3} - 1 = e - \frac{5}{3}\) \( = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^5 = \frac{{ - 8}}{3} + 8 + \frac{{125}}{3} - 20 - \frac{8}{3} + 8 = \frac{{97}}{3}\). b) Vì \(\cos x \ge \frac{1}{2}\) với mọi \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right]\) nên diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left| {\cos x - \frac{1}{2}} \right|dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)dx}  = \left. {\left( {\sin x - \frac{x}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{6}\).