Đề bài

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \(\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\). Chứng minh rằng: a) \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\) b) \(\Delta AED = \Delta BEC.\) c) \(AB//DC\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ADE, ta có:Ta có: \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED}=180^0\)\(\widehat {CBE} +\widehat {BCE} + \widehat {BEC}=180^0\) Mà \(\widehat {AED} = \widehat {BEC}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {ADE}=\widehat {BCE}\)(gt)\( \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DAE} = \widehat {CBE} = \widehat {CBD}\).b)Xét \(\Delta AED\)và \(\Delta BEC\) có:AD = BC\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\)(gt)\(\begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {CBE}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AED = \Delta BEC\left( {g - c - g} \right)\end{array}\)c)Ta có: \(\Delta AED = \Delta BEC\left( {cmt} \right) \Rightarrow EA = EB,ED = EC\)(2 cạnh tương ứng)\( \Rightarrow AC = EA + EC = EB + ED = BD\)Ta có: \(\Delta ADB = \Delta BCA\left( {c - g - c} \right)\left( {do\,AD = BC,\widehat {ADB} = \widehat {BCA},DB = CA} \right)\)Nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) ( 2 góc tương ứng)Mặt khác: \(\Delta ADC = \Delta BCD\left( {c - c - c} \right)\left( {do\,AD = BC;AC = BD,DC:chung} \right)\) Nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) ( 2 góc tương ứng)Như vậy:\(2\widehat {ABD} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = {180^0} - \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = \widehat {ECD} + \widehat {EDC} = 2\widehat {BDC}\)\(\)Do đó:\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\)Mà 2 góc này ở vị trí so le trong\(\Rightarrow AB// CD\) (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)