Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho \(\widehat {CAM} = {30^o}\). Chứng minh rằng: a) Tam giác CAM cân tại M; b) Tam giác BAM là tam giác đều; c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có: \(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\\ {90^o} + {60^o} + \widehat C = {180^o}\\ \widehat C = {30^o}\end{array}\) Xét tam giác CAM có \(\widehat A = \widehat C = {30^o}\) Suy ra tam giác CAM cân tại M. b) Xét tam giác CAM có: \(\begin{array}{l}\widehat C + \widehat {CMA} + \widehat {CAM} = {180^o}\\ {30^o} + \widehat {CMA} + {30^o} = {180^o}\\  \widehat {CMA} = {120^o}\\ \widehat {BMA} = {180^o} - \widehat {CMA} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\end{array}\) Xét tam giác ABM có: \(\begin{array}{l}\widehat B + \widehat {BMA} + \widehat {BAM} = {180^o}\\ {60^o} + {60^o} + \widehat {BAM} = {180^o}\\ \widehat {BAM} = {60^o}\end{array}\) Do \(\widehat {BAM} = \widehat {BMA} = \widehat {ABM} = {60^o}\) nên tam giác ABM đều. c) Vì \(\Delta ABM\) đều nên \(AB = BM = AM\) Mà \(\Delta CAM\) cân tại M nên MA = MC Suy ra MB = MC. Mà M nằm giữa B và C Do đó M là trung điểm của BC.