Đề bài

a) Tìm số nguyên âm lớn nhất để khi nhân nó với một trong các phân số tối giản sau đều được tích là những số nguyên: \(\frac{5}{6};\;\frac{{ - 7}}{{15}};\;\frac{{11}}{{21}}.\) b) Tìm số nguyên a nhỏ nhất để khi lấy a chia cho \(\frac{8}{9}\) hoặc \(\frac{{17}}{{12}}\), ta đều được kết quả là những số tự nhiên.

Lời giải chi tiết

a) Gọi a là số nguyên cần tìm. Vì \(a.\frac{5}{6} \in Z;\)\(\frac{5}{6}\) là phân số tối giản nên a chia hết cho 6. Tương tự ta cũng có: a chia hết cho 15 và 21. Vậy a là một BC(6,15,21) Ta có: BCNN(6,15,21) = 210. \( \Rightarrow a \in \left\{ {0; \pm 210; \pm 420;...} \right\}\) Mà a là số nguyên âm lớn nhất \( \Rightarrow a =  - 210\) Vậy số nguyên cần tìm là – 210. b) Để a chia cho \(\frac{8}{9}\) hoặc \(\frac{{17}}{{12}}\), ta đều được kết quả là những số tự nhiên thì: \(\left\{ \begin{array}{l}a:\frac{8}{9} = a.\frac{9}{8} = \frac{{9.a}}{8} \in N\\a:\frac{{17}}{{12}} = a.\frac{{12}}{{17}} = \frac{{12.a}}{{17}} \in N\end{array} \right.\)Hay a chia hết cho 8 và 17 (Vì UCLN(8,9) = 1 và UCLN((12,17) = 1). Do đó a là một BC(8,17) \( = \left\{ {0;136;272;...} \right\}\) Mà kết quả phép chia là số tự nhiên nên \(a \ge 0\). Vậy a = 0.