Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng: a)\(\Delta ABD\) vuông tại B. b)\(\Delta ABD = \Delta BAC\) c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta DMB\) có MA = MD MC = MB \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\)(2 góc đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta AMC = \Delta DMB\left( {c - g - c} \right)\) \(\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {MCA}\) ( 2 góc tương ứng) Ta có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ABM} + \widehat {DBM} = \widehat {ABC} + \widehat {BCA} = {90^0}\) Vậy tam giác ABD vuông tại B. b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAC\) có: \(\begin{array}{l}\widehat {ABD} = \widehat {BAC} = {90^0}\\BD = CA\left( {do\,\Delta AMC = \Delta DMB} \right)\end{array}\) AB: Cạnh chung \( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta BAC\left( {c - g - c} \right)\) c) Ta có: \(\Delta ABD = \Delta BAC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BDA}\) ( 2 góc tương ứng) Mặt khác: \(AC//BD\)(vì cùng vuông góc với AB) nên \(\widehat {BDA} = \widehat {CAD}\)(2 góc so le trong) Vì vậy ta có: \(\widehat {MCA} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {CAM}\) Do đó tam giác AMC cân tại đỉnh M nên MA = MC Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC \(\Rightarrow MA=MB\) Do đó tam giác AMB cân tại đỉnh M.