Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không vuông, với trực tâm \(H\), nội tiếp đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(AA'\) của đường tròn \((O).\) a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} .\) b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} .\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\) (1)Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)  (2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)b) Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hànhnên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)\(O\) là trung điểm của \(AA'\)\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)