Đề bài

Nồng độ \(C\) của một loại hoá chất trong máu sau \(t\) giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức: \(C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}\) với \(t \ge 0\) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(C\left( t \right) = \frac{{3t}}{{27 + {t^3}}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Ta có: \(C'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {3t} \right)}^\prime }.\left( {27 + {t^3}} \right) - \left( {3t} \right).{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{3\left( {27 + {t^3}} \right) - \left( {3t} \right).3{t^2}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{81 - 6{{\rm{x}}^3}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}}\) \(C'\left( t \right) = 0\) khi \(t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2}\). Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;4} \right)} C\left( t \right) = \frac{{\sqrt[3]{4}}}{9}\) tại \(t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2}\). Vậy sau khoảng \(t = \frac{{3\sqrt[3]{4}}}{2} \approx 2,38\) giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu là cao nhất.