Đề bài

Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh \(2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) = A{C^2} + B{D^2}\) b) Cho \(AB = 4,BC = 5,BD = 7.\) Tính AC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos ABC\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\end{array} \right.\)Mà \(AD = BC;\cos BAD = \cos ({180^ \circ } - ABC) =  - \cos ABC\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + 2.AB.BC.\cos BAD\\B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\end{array} \right.\end{array}\)Cộng vế với vế ta được:\( A{C^2} + B{D^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\)b)  Theo câu a, ta suy ra: \(A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - B{D^2}\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} = 2\left( {{4^2} + {5^2}} \right) - {7^2} = 33\\ \Rightarrow AC = \sqrt {33} \end{array}\)