Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\). b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\). c) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\), ta có \(a =  - 1,b = 0,c = 2,d = 2\). Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 - 2 = 3 > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. Mặt cầu có tâm \(\left( { - 1;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \). b) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\), ta có \(a = 1,b =  - 1,c =  - 1,d = 7\). Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 1 + 1 - 7 =  - 4 < 0\), do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu. c) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\). Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + \frac{2}{3} = 0\). Ta có \(a =  - 2,b = 1,c =  - 1,d = \frac{2}{3}\). Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 1 + 1 - \frac{2}{3} = \frac{{16}}{3} > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu. Mặt cầu có tâm \(\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).